Question

18．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连PC交⊙O于点D，若BD∥AC，则tan∠ACP的值是（　　）

• A． $\frac{3}{\sqrt{3}}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 连接AD，CB，过点P作PE⊥CB交CB的延长线于E，由PA、PB是⊙O的切线，得到PA=PB，∠3=∠5，1=2，由于AC∥BD，得到∠ACB=∠DBE，推出∠3=4，∠5=4，通过△ADP≌△BPE，得到AD=BE，PD=PE，设PE=PD=a，BE=BC=AD=b，由射影定理得$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到结果tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：连接AD，CB，过点P作PE⊥CB交CB的延长线于E，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠3=∠5，1=2，
∵AC∥BD，
∴∠ACB=∠DBE，
∴∠3=4，
∴∠5=4，
在△ADP与△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=PEB=90°}\\{∠5=∠4}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPE，
∴AD=BE，PD=PE，
∵AC∥BD，
∴AD=BC，
设PE=PD=a，BE=BC=AD=b，
∵∠CAP=90°，
由射影定理得：AD²=PD•CD，
∴CD=$\frac{{AD}^{2}}{PD}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴PC=$\frac{{b}^{2}}{a}$+a，CE=2b，
在Rt△PCE中，（2b）²+a²=${（\frac{{b}^{2}}{a}+a）}^{2}$，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．