Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，底边AB在横轴上且原点O为AB中点，AB∥CD，∠DAB=60°，AB、BC（AB＞BC）是方程x²-11x+28=0的两个根．
（1）求点C的坐标；
（2）求线段AC的长；
（3）在x轴上是否存在一点P，在平面内有一点Q，使以点A、点C、点P、点Q为顶的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标？若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过C作CM⊥AB于M，求出方程的解，骑车AB、BC值，根据∠ABC=60°，求出CM、BM，即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AC即可；
（3）分为三种情况：①作AC得垂直平分线交直线CD于Q，此时Q符合，AQ=CQ，根据勾股定理求出CQ，即可得出答案；②以C为圆心，移AC为半径交直线CD于Q₂、Q₃，此时符合，求出CQ₂=CQ₃，得出即可；③作C关于直线AB的对称点Q₄，此时Q₄符合题意．

解答：解：（1）
过C作CM⊥AB于M，
∵AB、BC（AB＞BC）是方程x²-11x+28=0的两个根，
∴AB=7，BC=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠B=60°，
∴BM=

1

2

BC=2，由勾股定理得：CM=2

3

，
∵O为AB中点，AB=7，
∴OA=OB=3.5，
∴OM=3.5-2=1.5，
即C的坐标是（1.5，2

3

）；

（2）AM=OA+OM=3.5+1.5=5，CM=2

3

，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：AC=

52+(2 3 )2

=

37

；

（3）在x轴上存在一点P，在平面内有一点Q，使以点A、点C、点P、点Q为顶的四边形为菱形，
理由是：①过A作AN⊥CD于N，作AC的垂直平分线交直线CD于Q，交AB于P，此时Q符合题意，

则设AQ=CQ=x，DN=BM=2，CD=7-2-2=3，
所以CR=DR=1.5
在Rt△ANQ中，AN=CM=2

3

，ND=3+2-x=5-x，AQ=x，由勾股定理得：（2

3

）²+（5-x）²=x²，
解得：x=2.7，
则QR=2.7-1.5=1.2，
即Q的坐标是（-1.2，2

3

）；
②
以AC为边，如图2，Q₂，Q₃符合，过Q₂作Q₂W⊥AB于W，过Q₃N⊥AB于N，
P₂Q₂=P₃Q₃=AC=

37

，Q₂W=Q₃N=2

3

，
由勾股定理得：P₂W=P₃N=

( 37 )2-(2 3 )2

=5，
则OW=OA+AP₂-P₂W=3.5+

37

-5=

37

-1.5，ON=AP₃+P₃N-AO=

37

+5-3.5=

37

+1.5，
即Q₂的 坐标是（1.5-

37

，2

3

），Q₃的坐标是（

37

+1.5，2

3

）；
③延长 CM到Q₄，使CM=MQ₄，此时Q₄符合题意，如图3，

∵C（1.5，2

3

），
∴Q₄的坐标是（1.5，-2

3

）．

点评：本题考查了勾股定理，菱形的性质，轴对称的性质，等腰梯形的性质的应用，综合性比较强，用了分类讨论思想，难度偏大．