Question

16．如图，在⊙O中，∠AOB=150°，∠ABC=45°，延长OB到D，使BD=OB，连接CD．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若CD=6，求弓形BC（劣弧所对）的面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求得△OBC是等边三角形，进而求得∠BCD=∠D=30°，从而求得∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，即可证得结论；
（2）根据正切函数求得半径，然后根据弓形BC（劣弧所对）的面积：S_扇形-S_△OCB即可求得．

解答 解：（1）∵OA=OB，∠AOB=150°
∴∠A=∠OBA=15°，
∴∠ABC=45°，
∴∠OBC=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵BD=OB，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）在RT△OCD中，CD=6，
∴OC=CD•tan∠D=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$，
∴S_△OCB=$\frac{1}{2}$S_△OCD=3$\sqrt{3}$，
∴弓形BC（劣弧所对）的面积：S_扇形-S_△OCB=$\frac{60π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-3$\sqrt{3}$=2π-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，正切函数的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．