Question

1．如图，OA⊥OB，等腰三角形△MNC的顶点N、C在OA、OB上，∠M=90°，将△MNC绕点C顺时针旋转75°，点M的对应点D恰好落在OB上，则$\frac{OC}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出∠MNC=∠MCN=45°，CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，由旋转的性质得：∠DCE=∠DCE=∠MCN=45°，CD=CM，∠ECN=75°，求出∠DCN=120°，得出∠OCN=60°，由直角三角形的性质求出∠ONC=30°，OC=$\frac{1}{2}$CN，即可得出答案．

解答 解：∵等腰三角形△MNC的顶点N、C在OA、OB上，∠M=90°，
∴∠MNC=∠MCN=45°，CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，
由旋转的性质得：∠DCE=∠DCE=∠MCN=45°，CD=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，∠ECN=75°，
∴∠DCN=45°+75°=120°，
∴∠OCN=60°，
∵OA⊥OB，
∴∠ONC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$CN，
∴$\frac{OC}{CD}$=$\frac{\frac{1}{2}CN}{\frac{\sqrt{2}}{2}CN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30°的直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质，求出∠ONC=30°是解决问题的关键．