Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=

1

2

AB；
（3）若

BH

BE

=

1

4

，求

BH

CE

的值．

Answer 1

分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；
（2）连接OF，求出EH=OF=

1

2

DC=

1

2

AB．
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．

解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB．

（2）证明：连接OF．
∵⊙O与AB切于点F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
∵OF=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴EH=

1

2

AB．

（3）解：连接DE．
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴

BH

CE

=

BE

CD

，
∵

BH

BE

=

1

4

，
设BH=k，
则BE=4k，
EH=

BE2-BH2

=

15

k，
∴CD=2EH=2

15

k，
∴

BH

CE

=

BE

CD

=

4k

2 15 k

=

2 15

15

．

点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．