Question

3．如图，直线l₁的解析表达式为：y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A、B，直线l₁，l₂交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l₂的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知l₁的解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）设l₂的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（3）先解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=\frac{3}{2}x-6}\end{array}\right.$，确定C（2，-3），再利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（4）由于△ADP与△ADC的面积相等，根据三角形面积公式得到点P与点C到AD的距离相等，则P点的纵坐标为3，对于函数y=$\frac{3}{2}$x-6，计算出函数值为3所对应的自变量的值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵y=-3x+3，
∴令y=0，得-3x+3=0，
解得x=1，
∴D（1，0）；

（2）设直线l₂的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y=-$\frac{3}{2}$，
代入表达式y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以直线l₂的解析表达式为y=$\frac{3}{2}$x-6；

（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=\frac{3}{2}x-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴C（2，-3），
∵AD=3，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×|-3|=$\frac{9}{2}$；

（4）因为点P与点C到AD的距离相等，
所以P点的纵坐标为3，
当y=3时，$\frac{3}{2}$x-6=3，解得x=6，
所以P点坐标为（6，3）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．