Question

如图，已知EF∥GH，AB、BC分别平分∠EAC、∠GCA，且交于点B，AD、CD分别平分∠FAC、∠HCA，且交于点D．求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定

专题：证明题

分析：首先根据角平分线的性质可得∠1=∠2=

1

2

∠EAB，∠ACB=∠BCG=

1

2

∠ACG，进而可得∠2+∠ACB=90°，根据三角形内角和定理可得∠B=90°，同理可得∠D=90°，再用AD平分∠FAC，可得∠3=∠4=

1

2

∠FAC，再证明∠2+∠3=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得结论．

解答：证明：∵AB、BC分别平分∠EAC、∠GCA，
∴∠1=∠2=

1

2

∠EAB，∠ACB=∠BCG=

1

2

∠ACG，
∵EF∥GH，
∴∠EAC+∠ACG=180°，
∴∠2+∠ACB=90°，
∴∠B=180°-90°=90°，
同理：∠D=90°，
∵AD平分∠FAC，
∴∠3=∠4=

1

2

∠FAC，
∴∠2+∠3=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

点评：此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有三个角是直角的四边形是矩形．