Question

14．如图1，A（0，-1），A、C关于x轴对称，AB=2，EF∥BC，交AB的延长线于E点，交y轴于F点．
（1）求∠AEF；
（2）如图2，将△AEF绕A点顺时针旋转得到△APQ，PQ分别交y轴于M，交BC延长线于D点，PA交BC于H点，当D（m，2）时，问AM+DH大小是否变化并证明．

Answer 1

分析 （1）先利用锐角三角函数即可得出∠BAO=60°，进而得出△ABC是等边三角形，最后用平行线的性质即可得出结论；
（2）先用待定系数法求出直线BC解析式，即可得出点D坐标，进而求出CD=2，根据∠DCM=60°构造出等边三角形，进而判断出△ACH≌△DMN，最后代换即可得出结论．

解答 解：（1）∵A（0，-1），
∴OA=2，
在Rt△AOB中，AB=2，OA=1，
∴cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=60°，
∵A、C关于x轴对称，
∴C（0，1），
∴AC=2=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°；

（2）AM+DH大小不发生变化，
理由：如图，在Rt△AOB中，AB=2，OA=1，根据勾股定理得，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴B（-$\sqrt{3}$，0），
∵C（0，1），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵D（m，2）在直线BC上，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+1=2，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴D（$\sqrt{3}$，2），
∴CD=$\sqrt{3+（2-1）^{2}}$=2，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
在AC上取一点N使CN=CD=2，
∴△CDN是等边三角形，
∴DN=CD=2，∠DNM=∠CDN=60°=∠ACH，
∴∠PDB+∠PDN=60°，
∵△AEF绕A点顺时针旋转得到△APQ，
∴∠P=∠AEF=60°=∠ABC，
∵∠DHP=∠AHB，
∴∠PAB=∠PDB，
∴∠PDN+∠PAB=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠PAC+∠PAB=60°，
∴∠PAC=∠PDN，
∵AC=2=DN，
在△ACH和△DMN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠DNM=60°}\\{AC=DN}\\{∠CAH=∠NDM}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△DMN（ASA），
∴CH=MN．
∴AM=AN-MN=CN+AC-MN=2+2-MN=4-MN，
∵DH=CD+CH=2+MN，
∴AM+DH=4-MN+2-MN=6．
即：AM+DH不发生变化，是定值为6．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，勾股定理等知识点；构造出等边△CDN是解本题的关键．