Question

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC有何关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 由条件可求得AB=CD、DE=AE，且∠BAE=∠EDC=135°，可证明△ABE≌△DCE，再利用∠AEB=∠DEC，可证得BE⊥CE．

解答 解：
猜想：BE=CE，BE⊥CE．
证明如下：
∵AC=2AB，D是AC的中点，
∴CD=AB，
∵△AED为等腰直角三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠CDE=135°，
在△ABE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠BAE=∠CDE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∴∠BED+∠DEC=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥CE，
即BE和CE的关系为相等且垂直．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，由条件证得△ABE≌△DCE是解题的关键，注意利用等腰直角三角形的性质．