Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：

①当x＞0时，y＞0；

②若a=﹣1，则b=3；

③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．

其中真命题的序号是____________．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

（1）根据二次函数所过象限，判断出y的符号；

（2）根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；

（3）根据，由x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，由图象性质判断出y1＞y2；

（4）作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，DE和的和即为四边形EDFG周长的最小值，求出D、E、、的坐标即可解答．

（1）当x＞0时，函数图象过一、四象限，当0<x<b时，y>0；当x>b时，y<0，故本选项错误；

（2）二次函数对称轴为x=-=1，点A、B关于x=1对称，当a=-1时，有=1，解得b=3，故本选项正确；

（3）∴x1+x2＞2，

∴，

又∵x1＜1＜x2，

∴Q点距离对称轴较远，

∵函数图象开口向下，

∴y1＞y2，故本选项正确；

（4）如图，作D关于x轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接，的和即为四边形EDFG周长的最小值，

当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则为（-1，4），C点坐标为（0，3），则E为（2，3），为（2，-3）则DE=，=，

∴四边形EDFG周长的最小值为，

∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误，

故答案为：②③．