Question

如图，直角坐标系中，A（-2,0），B（8,0），以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD。

（1）直接写出C、M两点的坐标。
（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由。
（3）在x轴上是否存在一点Q，使周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵    ∴AB=10
                ∵四边形ABCD为正方形 ∴BC=AB=10
                 ∴C（8，10）
                  连MP，Rt 中，
                   ∴OM=4，即 M（0 ，4）
          （2）CM与⊙P相切         理由：Rt中，
                   ∴
                    Rt中，
                   ∴
                   ∴中，
                   ∴ 即
                    ∴CM与⊙P相切
           （3） 中，CM恒等于10，要使周长最小，即要使最小，故作M关于x轴对称点M'，连CM'交x轴于点Q，连MQ，此时，周长最小。
                     ∵
                     设直线
                      ∴
                        ∴
                        ∴
                        ∵x 轴垂直平分MM'
                        ∴
                        ∴
                        Rt中，
                        ∴
                         ∴ 周长最小值为
                        ∴存在符合题意的点Q，且
                        此时周长最小值为