Question

如图，直角坐标系中，已知点A（3，0），B（t，0）（0＜t＜

3

2

），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点E是直线OC与正方形ABCD的外接圆除点C以外的另一个交点，连接AE与BC相交于点F．
（1）求证：△OBC≌△FBA；?
（2）一抛物线经过O、F、A三点，试用t表示该抛物线的解析式；?
（3）设题（2）中抛物线的对称轴l与直线AF相交于点G，若G为△AOC的外心，试求出抛物线的解析式；?
（4）在题（3）的条件下，问在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线AF的对称点在x轴上？若存在，请求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）这两个三角形中，已知的条件有∠BCE=∠BAE（圆周角定理），一组直角，BC=AB，因此构成了全等三角形的判定条件，因此两三角形全等．
（2）本题的关键是求出F的坐标，根据（1）的全等三角形可得出OB=BF=t，由此可得出F的坐标，然后代入抛物线中即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）易知：正方形的边长为3-t，因此C（t，3-t），可设G的坐标为（1.5，b），根据GO=GC可用t表示出G的纵坐标，然后代入抛物线的直线AF的即解析式中即可求出t的值．即能确定出抛物线的解析式．
（4）根据（3）得出的条件，易证得CF：BF=AC：AB=

2

，根据三角形内角平分线判定定理，可得出AF是∠CAB的角平分线，如果存在P点，那么P必为抛物线与直线AC的交点，可联立两个函数的解析式求出交点坐标即可．

解答：解：（1）证明：∵∠BCE=∠BAE，∠FAB=∠OBC=90°，AB=BC
∴△OBC≌△FBA．

（2）由（1）易知：OF=OB=t，
因此F（t，t），
设抛物线的解析式为y=ax（x-3），
则有：t=at（t-3），a=

1

t-3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

t-3

x²-

3

t-3

x．

（3）易知：C（t，3-t）
设G点坐标为（

3

2

，h），由于GC=OG，
则有（

3

2

-t）²+（h-3+t）²=（

3

2

）²+h²
解得h=

3-2t

2

．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
则有：

kt+b=t 3k+b=0

，
解得

k= t t-3 b= 3t 3-t

，
∴直线AF的解析式为y=

t

t-3

x-

3t

t-3

．
由于直线AF过G点，
则有当x=

3

2

时，

3-2t

2

=

t

t-3

×

3

2

-

3t

t-3

，
解得t=

6±3 2

2

，
由于0＜t＜

3

2

，
∴t=

6-3 2

2

∴抛物线的解析式为y=-

2

3

x²+

2

x．

（4）由（3）知，BF=t=

6-3 2

2

=

2

（3

2

-3），CF=3-2t=3

2

-3．
∴

CF

BF

=

AC

AB

=

2

∴AF是∠CBA的角平分线，
∴若存在P点，则P点必为直线AC与抛物线的交点．
易知：直线AC的解析式为：y=-x+3．
则有

y=-x+3 y=- 2 3 x2+ 2 x

，
解得

x=3 y=0

，

x= 3 2 2 y= 6-3 2 2

，
∴存在P点，其坐标为（

3 2

2

，

6-3 2

2

）．

点评：本题主要考查了正方形的性质、圆、全等三角形的判定、轴对称图形等知识点．综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．