Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为CB延长线上一点，过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足，且满足∠FPC=30°，求证：$\frac{1}{2}$BC=EF-PB．

Answer 1

分析 先征得△ABE≌△CAF，得到BE=AF，AE=CF，故EF=BE+CF，由∠FPC=30°，得到$\frac{1}{2}$PC=CF，$\frac{1}{2}$PB=BE，再根据线段的和差得到结论．

解答 证明：∵∠BAC=90°，且BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠EBA+∠BAE=∠BAE+∠CAF，
∴∠EBA=∠CAF；
在△ABE与△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FAC}\\{∠AEB=∠CFA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=BE+CF，
∴CF=EF-BE，
∵∠FPC=30°，
$\frac{1}{2}PB=BE$，
$\frac{1}{2}$PC=CF=EF-BE，
$\frac{1}{2}$PB+$\frac{1}{2}$BC=EF-BE，
∴BE+$\frac{1}{2}$BC=EF-BE，
$\frac{1}{2}$BC=EF-2BE，
∴$\frac{1}{2}$BC=EF-PB．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题，含30°直角三角形的性质，解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．