Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；

(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；

(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）面积最大为，点坐标为；（4）存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，,点坐标为，，．

【解析】

（1）将点，代入即可求解；
（2）BC与对称轴的交点即为符合条件的点，据此可解；
（3）过点作轴于点，交直线与点，当EF最大时面积的取得最大值，据此可解；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点N使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.分三种情况讨论.

解：(1) 抛物线过点，

解得：

抛物线解析式为．

(2) 点，

∴抛物线对称轴为直线

点在直线上，点，关于直线对称

，

当点、、在同一直线上时，最小．

抛物线解析式为，

∴C（0，-6），

设直线解析式为

，

解得：

直线：

，

，

故答案为：．

(3)过点作轴于点，交直线与点，

设，则

，

当时，面积最大为

，

此时点坐标为．

(4)存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
设N（x，y），M（，m），
①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，

∴y= = ，
∴N（，）；
②四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；
③四边形CNMB是平行四边形时，CB∥MN，NC∥BM，

，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；

点坐标为（，），（，），（，）．