Question

【题目】如图,在中，，，高， 矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点．

(1)求证：；

(2)设，当为何值时，矩形的面积最大?并求出最大面积；

(3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动(当矩形的边到达点时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当x为时，矩形的面积有最大值5；（3）S=

【解析】

（1）由条件可得EF∥BC，根据相似三角形的判定即可求证；
（2）由（1）可得，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；
（3）当0≤t＜2时，设矩形EFPQ与AB、AC的交点分别为M、N、R、S，可利用平行表示出MN的长，可表示出△EMS和△NFR的面积，进一步可表示出重叠部分的面积；当2≤t≤4时，重叠部分为△P′Q′A，利用平行分别用x表示出其底和高，可表示出面积．

解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
∴；
（2）∵

∴，即，
∴HD=4-，
∴S矩形EFPQ=EFFQ=EFHD=x（4-）=-x2+4x，
该函数为开口向下的二次函数，故当x=时有最大值，最大值为5，
即当x为时，矩形的面积有最大值5；
（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=，FQ=2，
①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交与点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD于K，

由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
又∵RS=，
∴R、S为AB、AC的中点，
∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，
又∵MN∥RS，
∴，即，
∴MN=-t，
∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，
∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=tt=，
∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；
②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，

根据题意D′D=t，则AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
∴，即，
解得P′Q′=5-t，
∴S=S△AP′Q′=P′Q′AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；
综上可知S=．