Question

10．如图1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以AC、AB为边向形外作等边三角形ACD、ABF，连接CF、BD．
（1）求证：CF=BD；
（2）如图2，若∠BAC=30°，点H为AC的中点，连接FH、BH、DH，请直接写出与△ABC全等的所有三角形．

Answer 1

分析 （1）欲证明CF=BD，只要证明△AFC≌△ABD即可．
（2）与△ABC全等的三角形有：△FAH，△FBH，△DHA，△DHC．

解答 （1）证明：∵△ABF和△ACD都是等边三角形，
∴∠FAB=∠CAD=60°，AF=AB，AC=AD，
∴∠FAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，
∴∠FAC=∠BAD，
在△AFC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠FAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$
∴△AFC≌△ABD，
∴CF=BD，

（2）与△ABC全等的三角形有：△FAH，△FBH，△DHA，△DHC．
理由：∵∠BAC=30°，∠FAB=60°，
∴∠FAH=90°，易知∠AFH=30°，
∴FH=2AH=AC，
∵BC=AH=CH，
∴Rt△FAH≌Rt△ABC，
在Rt△ADH中，∵AD=2AH=AC，
∴AH=BC，AD=AC，
∴Rt△DHA≌Rt△ABC，
同法可证△FHB，△DHC与△ABC全等．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．