Question

【题目】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点.

（1）求直线的解析式；

（2）连接，，并将沿轴对折，得到四边形.是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点使四边形为菱形，点的坐标为（3）当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32

【解析】

（1）求出B、C的坐标，然后根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）连接PP'交CO于点D．由菱形的性质得到，PC=PO，且PD⊥CO，OD=DC=4，即得到点P的纵坐标，代入二次函数解析式即可得到结论；

（3）如图2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．设点P坐标为(m，m2-2m-8)，根据求出四边形ABPC面积的表达式，然后根据二次函数的性质求解即可．

（1）当时，．

解得，．

∵点在点的左侧，

∴点，的坐标分别是，．

当时，．

∴点的坐标是．

设直线的解析式为．

将，两点的坐标代入，

得，

解方程，得，

∴直线的解析式为．

（2）抛物线上存在点，使四边形为菱形．

如图1，连接交于点．

∵四边形为菱形，

∴，且，，即点的纵坐标为－4．

由，得

，(不合题意，舍去)．

所以存在点使四边形为菱形，点的坐标为．

（3）如图2，连接，作轴于，轴于．

设点坐标为，

∵点的坐标为．

∴，，，，．

∴

∴当时，．

此时点坐标为．

∴当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．