Question

【题目】如图，是的直径，点是上一点，点是的内心，的延长线交于点，连．

(1)求证：；

(2)若，，①求的长； ②求的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①10；②24.

【解析】

（1）连接AI，运用内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可解决．

（2）①连接BD，证明DB=DI，进而DB=DA；由勾股定理即可求得AB的长；

②作辅助线，构造相似三角形，求得△ABC的AB边上的高，即可解决问题．

（1）连接AI．

∵点I是△ABC（AC＜AB）的内心，∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI．

∵∠DAB=∠BCI，∴∠DAB=∠ACI，∴∠DAB+∠OAI=∠ACI+∠CAI．

∵∠AID=∠ACI+∠CAI，∠DAI=∠DAB+∠OAI，∴∠AID=∠DAI，∴DA=DI．

（2）连接BI，OD，BD，过点C作CP⊥AB于点P．

①类比（1）中的方法，同理可证DB=DI，∴DA=DB=DI=．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由勾股定理得：

=10，即AB的长为10．

②∵∠ACD=∠BCD，∠DAQ=∠BCD，∴∠ACD=∠DAQ，而∠ADC=∠ADQ，∴△ADC≌△QDA，∴，∴=，∴．

∵DA=DB，AO=BO，∴DO⊥AB，．

而CP⊥AB，∴△CPQ∽△DOQ，∴，∴CP==，∴．即△ABC的面积为24．