Question

已知t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x²-x+t-4=0的两个非负实根，则（a²-4）（b²-4）的最大值与最小值的差为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的最值,根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据根与系数的关系与根的判别式，可以求出t的取值范围，然后把式子（a²-4）（b²-4）进行变形，进而得出有关t的函数关系求出即可．

解答：解：∵a，b是关于x的一元二次方程x²-x+t-4=0的两个非负实根，
∴可得a+b=1，ab=t-4≥0，
∴t≥4，
又△=1-4（t-4）≥0，可得t≤

17

4

，
∴

17

4

≥t≥4，
又（a²-4）（b²-4）=（ab）²-（a²+b²）+16=（ab）²-4（a+b）²+2ab+16，
∴（a²-4）（b²-4），
=（t-4）²-4+2（t-4）+16，
=t²+20，
又∵

17

4

≥t≥4，
∴（

17

4

）²+20-16-20=

33

16

，
故答案为：

33

16

．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及整式的运算等知识，熟练应用根与系数的关系得出有关t的函数关系式是解决问题的关键．