Question

3．如图，直线l₁的函数解析式为y=-2x+4，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A、B，直线l₁、l₂交于点C．
（1）求直线l₂的函数解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线l₂的函数解析式；
（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出点D的坐标，联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标，再根据三角形的面积即可得出结论；
（3）假设存在，根据两三角形面积间的关系|y_P|=2|y_C|=4，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l₂的函数解析式为y=kx+b，
将A（5，0）、B（4，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的函数解析式为y=x-5．
（2）联立两直线解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（3，-2）．
当y=-2x+4=0时，x=2，
∴点D的坐标为（2，0）．
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•|y_C|=$\frac{1}{2}$×（5-2）×2=3．
（3）假设存在．
∵△ADP面积是△ADC面积的2倍，
∴|y_P|=2|y_C|=4，
当y=x-5=-4时，x=1，
此时点P的坐标为（1，-4）；
当y=x-5=4时，x=9，
此时点P的坐标为（9，4）．
综上所述：在直线l₂上存在点P（1，-4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的2倍．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．