Question

12．已知二次函数y₁=a₁（x-1）²-2012，其图象顶点为M，且与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，又知二次函数y₂=a₂（x-1）²+1的顶点为N，若A，B，M，N四点共圆，则x₁x₂-x₁-x₂=-2013．

Answer 1

分析 不妨设A在B的左边，设MN与AB的交点为H，易证△AHM∽△NHA，从而可求出AH，进而得到x₁，同理可求出x₂，然后代入所求代数式就可解决问题．

解答 解：不妨设A在B的左边，设MN与AB的交点为H，
由题可知：M（1，-2012），N（1，1），
则MH=2012，NH=1．
根据抛物线的对称性可得MN垂直平分AB，
故MN为四边形AMBN外接圆的直径，
根据圆周角定理可得∠NAM=∠NBM=90°，
∴∠NAH+∠MAH=90°，∠HMA+∠MAH=90°，
∴∠NAH=∠HMA．
∵∠AHN=∠MHA=90°，
∴△AHM∽△NHA，
∴$\frac{AH}{NH}$=$\frac{HM}{HA}$，
∴AH²=MH•NH=2012，
∴AH=$\sqrt{2012}$=2$\sqrt{503}$，
∴1-x₁=2$\sqrt{503}$，
∴x₁=1-2$\sqrt{503}$．
同理x₂=1+2$\sqrt{503}$，
∴x₁x₂-x₁-x₂=（1-2$\sqrt{503}$（1+2$\sqrt{503}$）-（1-2$\sqrt{503}$）-（1+2$\sqrt{503}$）
=1-2012-1+2$\sqrt{503}$-1-2$\sqrt{503}$
=-2013．
故答案为-2013．

点评 本题主要考查了抛物线的轴对称性、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、求代数式的值等知识，推出△AHM∽△NHA是解决本题的关键．