Question

如图所示为上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2.2米，长方形的另一边为2.3米，有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要从此桥洞经过．
（1）卡车是否能通过桥洞？说明理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.5米，高为3.1米的卡车通过，则桥洞的宽至少增加到多少米？

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理

专题：

分析：（1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
（2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案．

解答：解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD=MN=1.6米，AB=2.2米，
由作法得，CE=DE=0.8米，
又∵OC=OA=1.1米，
在Rt△OCE中，OE=

OC2-CE2

=

1．12-0．82

=

57

10

≈0.75（米），
∴CM=2.3+0.75=3.05＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：
根据题意可知：CG=BE=3.1米，BG=OF=1.5米，EF=AD=2.3米，
∴BF=0.8米
∴根据勾股定理有：OA²=OB²=BF²+OF²=0.8²+1.5²=2.89（米），
∴OA=1.7米，
∴桥洞的宽至少增加到1.7×2=3.4（米）．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．