题目内容

如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= $数学公式$ ．
探究　如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S_△ABC=______．
拓展　如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，
（1）用含x，m或n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现　请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并直接写出这个最小值．

解：∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BH=5，
∴AH= $\text{[math]}$ =12，
∴HC=9，AC= $\text{[math]}$ =15，
∴△ABC的面积S_△ABC= $\text{[math]}$ ×12×14=84；
故答案为：12，15，84；

（1）由三角形面积公式得出：S_△ABD= $\text{[math]}$ mx，S_△CBD= $\text{[math]}$ nx；

（2）∵m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，
∴m+n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由于AC边上的高为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x的取值范围为： $\text{[math]}$ ≤x≤14，
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴x= $\text{[math]}$ 时，（m+n）的最大值为：15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；

（3）x的取值范围是x= $\text{[math]}$ 或13＜x≤14，
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为 $\text{[math]}$ ．
分析：探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC= $\text{[math]}$ ，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S_△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，再根据S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．