Question

如图，直径AB、CD相互垂直，P为上任意一点，连PC、PA、PD、PB，下列结论：
①∠APC=∠DPE；
②∠AED=∠DFA；
③
其中正确的是

1. A.
   ①③
2. B.
   只有①
3. C.
   只有②
4. D.
   ①②③

Answer 1

A
分析：①利用垂径定理，可得=，又由圆周角定理，即可证得∠APC=∠DPE；
②由于∠A不一定等于∠D，故∠AED=∠DFA错误；
③连AC，AD，BD，将△ACP绕A点顺时针旋转90°，使AC与AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）点P旋转到Q点，可证得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=AP，同理可得BP+AP=DP，继而可证得结论．
解答：∵直径AB、CD相互垂直，
∴=，
∴∠APC=∠DPE；
故①正确；
∵∠AED=∠DPE+∠D，∠DFA=∠APF+∠A，
∵P为上任意一点，
∴∠A不一定等于∠D，
∴∠AED不一定等于∠DFA；
故②错误；
连AC，AD，BD，将△ACP绕A点顺时针旋转90°，使AC与AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）点P旋转到Q点，
∴AQ=AP，CP=QD，
∵∠PAQ=90°，AQ=AP，
∵∠ADQ+∠ADP=∠ACP+∠ADP=180°，
∴P，D，Q三点共线，
∴∠Q=∠APD=45°，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴PQ=AP，
即CP+DP=AP，
同理：BP+AP=DP，
∴．
故③正确．
故选A．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、旋转的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．