Question

12．如图，四边形ABCD中，E₁、E₂是AB的三等分点，F₁，F₂是CD的三等分点．
（1）图1，当ABCD为梯形且AB∥CD时，四边形E₁E₂F₂F₁的面积与四边形ABCD面积的比为1：3
（2）图2，当ABCD为任意凸四边形时，求四边形E₁E₂F₂F₁的面积与四边形ABCD面积的比，并说明理由．
（3）图3，G₁、G₂是AD的三等分点，H₁、H₂是CB的三等分点，四边形MNOP的面积与四边形ABCD的面积的比为1：9

Answer 1

分析 （1）连接AC，AF₁，E₂F₁，E₁F₂，BF₂，CE₂，根据三角形的面积公式得到S${\;}_{△A{E}_{2}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ABC，同理得到S${\;}_{△A{F}_{1}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ADC，计算即可；
（2）（3）根据（1）的结论计算即可．

解答 解：如图1，连接AC，AF₁，E₂F₁，E₁F₂，BF₂，CE₂，
∵E₁、E₂是AB的三等分点，
∴AE₂=$\frac{2}{3}$AB，
∴S${\;}_{△A{E}_{2}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
同理，S${\;}_{△A{F}_{1}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ADC，
∴S${\;}_{四边形A{F}_{1}C{E}_{2}}$=$\frac{2}{3}$S_{四边形ABCD}，
∵AE₁=E₁E₂，
∴S${\;}_{△A{F}_{1}{E}_{1}}$=S${\;}_{△{E}_{2}{F}_{1}{E}_{1}}$，
同理，四边形E₁E₂F₂F₁的面积与四边形ABCD面积的比为1：3，
故答案为：1：3；
（2）由（1）得，四边形E₁E₂F₂F₁的面积与四边形ABCD面积的比为1：3；
（3）由（1）得，四边形G₁G₂H₂H₁的面积与四边形ABCD面积的比为1：3；四边形E₁E₂F₂F₁的面积与四边形ABCD面积的比为1：3，
∴四边形MNOP的面积与四边形ABCD的面积的比为1：9，
故答案为：1：9．

点评 本题考查的是梯形的性质、三角形的面积计算，掌握等底等高的三角形面积相等是解题的关键．