Question

10．如图，矩形OABC中，A（3，1），B（1，7），BC交y轴于点P．
（1）求点C的坐标；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥x轴于G，作AF⊥x轴于F，作BE⊥y轴于E，AF交BE于D，BE交CG于H，由题意得出DE=OF=3，AF=1，DF=OE=7，BE=1，得出AD=6，BD=2，证明△OCG≌△ABD，得出CG=AD=6，OG=BD=2，即可得出结果；
（2）同（1）可证：△BCH≌△OAF，得出CH=AF=1，BH=OF=3，证明△BPE∽△BCH，得出$\frac{PE}{CH}=\frac{BE}{BH}$，求出PE，得出OP，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）作CG⊥x轴于G，作AF⊥x轴于F，作BE⊥y轴于E，AF交BE于D，BE交CG于H，如图所示：
则∠OGC=∠OFA=∠D=∠H=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠3，
∴∠4=∠1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB=∠ABC=∠BCO=∠AOC=90°，OA=BC，OC=BA，
∵A（3，1），B（1，7），
∴DE=OF=3，AF=1，DF=OE=7，BE=1，
∴AD=6，BD=2，
在△OCG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGC=∠D}&{\;}\\{∠4=∠1}&{\;}\\{OC=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=6，OG=BD=2，
∴点C坐标为（-2，6）；
（2）同（1）可证：△BCH≌△OAF，
∴CH=AF=1，BH=OF=3，
∵PE∥CH，
∴△BPE∽△BCH，
∴$\frac{PE}{CH}=\frac{BE}{BH}$，
即$\frac{PE}{1}=\frac{1}{3}$，
∴PE=$\frac{1}{3}$，
∴OP=OE-PE=$\frac{20}{3}$，
∴点P坐标为（0，$\frac{20}{3}$）．

点评 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．