Question

（1）已知

1+ 1 12 + 1 22

=

3

2

，

1+ 1 22 + 1 32

=

7

6

，

1+ 1 32 + 1 42

=

13

12

，…试猜测

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

的结果，并加以证明；

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+n+1

n(n+1)

，
（2）s=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20052 + 1 20062

，
求不超过S的最大整数[s]．

Answer 1

分析：（1）观察几道算式可知，结果的分母为二次根式中两个分母的积，分子比分母大1，由此得出一般规律；
（2）将一般规律的结果变形，即

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，再将n的值代入寻找抵消规律．

解答：解：（1）猜想：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2+n+1

n(n+1)

．
证明：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n2(n+1)2+2n(n+1)+1

n(n+1)

=

n2+n+1

n(n+1)

；
（2）∵

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴s=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

2005

-

1

2006

=2005+1-

1

2006

=2005

2005

2006

，
∴[s]=2005．

点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是根据算式发现一般规律，运用一般规律代值计算，寻找算式的抵消规律．