Question

【题目】已知如图，边长为2的正方形中，是对角线上的一个动点（与点、不重合），过点作，交射线于点，过点作，垂足为点.

（1）求证：：

（2）在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程：若变化，试说明理由：

（3）在点的运动过程中，能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时的长；如果不能，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的长度不变，值为，见解析；（3）能，的长为2．

【解析】

（1）过点作于，过点作于，根据正方形的性质证明，即可求解；

（2）连接，证明，得到；

（3）根据题意分①若点在线段上②若点在线段的延长线上，分别求解即可.

解：（1）证明：过点作于，过点作于，如图1．

∵四边形是正方形，，，

∴．

∴，．

∵即，

∴．

在和中，

．

∴，

∴．

（2）连接，如图2．

∵四边形是正方形，∴．

∵即，

∴．

∵即，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

∵四边形是正方形，

∴，，

∴．

∵，∴，

∴．

∴点在运动过程中，的长度不变，值为．

（3）的长为2．

①若点在线段上，如图1．

∵，∴．

∵，∴．

若为等腰三角形，则．

∴，

∴，与矛盾，

∴当点在线段上时，不可能是等腰三角形．

②若点在线段的延长线上，如图4．

若是等腰三角形，

∵，

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∴．

∴的长为2．