题目内容
【题目】如图，抛物线
与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 抛物线的解析式为y= 
x2-
x+2；(2) 点C的坐标为（5，2）；(3) 存在点P（，-
）或（，
）或（，
）或（，
）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；
（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①点O是直角顶点时，求出△OED和△PEO相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE，然后写出点P的坐标即可；②点C是直角顶点时，同理求出PF，再求出PE，然后写出点P的坐标即可；③点P是直角顶点时，利用勾股定理列式求出OC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=
OC，再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可．
试题解析：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，
，
解得
，
所以，抛物线的解析式为y=x2-x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是×2=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=×52-×5+2=2，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴
，
即
，
解得PE=，
所以，点P的坐标为（，-）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=，
所以，PE=+2=，
所以，点P的坐标为（，）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=
，
∵PD是OC边上的中线，
∴PD=
OC=
，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，
此时，点P的坐标为（，），
若点P在OC的下方，则PE=PD-DE=-1，
此时，点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，-）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．
