题目内容

1.如图所示,已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F为垂足,DE=BF,试说明AE与CF相等.
某合作学习小组的两名同学的解题过程如下:
学生甲:因为DE⊥AC,BF⊥AC,所以∠DEC=∠BFA=90°,在Rt△ABF与Rt△CDE中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$,所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),所以AE=FC(全等三角形的对应边相等).
学生乙:因为DE⊥AC,BF⊥AC,所以∠DEC=∠BFA=90°,在Rt△DEC和Rt△BFA中,$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$,所以Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),所以EC=FA(全等三角形的对应边相等),所以EC-EF=AF-EF,即CF=AE,请你分析以上两种解答过程,判断谁对谁错,并指出错误的原因.

分析 认真审题可以发现,题目提供的条件是两个三角形都是直角三角形,而且知道,这两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等,所以可以根据“HL”定理判定这两个直角三角形全等,然后得出EC=FA,据此对甲、乙两个学生的解答思路进行分析即可.

解答 解:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴EC=FA,
∴EC-EF=AF-EF,
即CF=AE,
由上可知,学生乙的解答过程正确,
学生甲的解答过程错误,
错误有两个,
①在Rt△ABF与Rt△CDE中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$应改为$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=DE}\end{array}\right.$,
②由Rt△ABF≌Rt△CDE得到的直接结果是:EC=FA.

点评 本题主要考查了直角三角形的判定定理,即:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等,注意总结.

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