Question

7．正△ABC和△A₁B₁C₁的边AC和A₁C₁有共同的中点D，试判断AA₁与BB₁的关系．

Answer 1

分析 连接DB，DB₁，根据等边三角形的性质求出DB⊥AC，B_1D⊥A₁C₁，推出∠BDB₁=∠CDC₁=∠ADA₁，求出AB=2AD，A₁B₁=2A₁D，由勾股定理求出DB=$\sqrt{3}$AD，DB₁=$\sqrt{3}$A_1D，得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{3}$，证△ADA₁∽△BDB₁，得出比例式，即可得出答案．

解答 解：连接DB、DB₁，
∵△ABC和△A₁B₁C₁均为等边三角形，点D既是AC的中点，又是A₁C₁的中点，
∴DB⊥AC，B_1D⊥A₁C₁，
∴∠BDC=∠B_1DC₁=90°，
∵∠CDB₁=∠CDB₁，
∴∠BDB₁=∠CDC₁=∠ADA₁，
AB=2AD，A₁B₁=2A_1D，
由勾股定理得：DB=$\sqrt{3}$AD，DB₁=$\sqrt{3}$A_1D，
即$\frac{BD}{AD}$=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{3}$，
∵∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
∵∠BDB₁=∠ADA₁，DB₁：DA₁=DB：DA=$\sqrt{3}$：1，
∴△BDB₁∽△ADA₁，
∴BB₁：AA₁=$\sqrt{3}$：1，
∴AA₁：BB₁=1：$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质的理解和掌握，求证△AOA₁∽△BOB₁，是解此题的关键，难度较大．