Question

19．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的点，且tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，将△CDE沿CE对折，得到△CEF，延长EF交于BC点P，则sin∠EPC=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 设ED=1，则CD=2，由折叠性质得：∠DEC=∠CEP，EF=ED=1，CF=CD=2，∠EFC=∠D=90°，得到∠CEP=∠ECP，于是有PC=PE，设PC=PE=x，则PF=x-1，根据勾股定理可求得CP，根据正弦三角函数的定义即可求得结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D-90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECP，
∵tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，
设ED=1，则CD=2，
由折叠性质得：∠DEC=∠CEP，EF=ED=1，CF=CD=2，∠EFC=∠D=90°，
∴∠CEP=∠ECP，
∴PC=PE，
设PC=PE=x，则PF=x-1，
在Rt△PCF中，PC²=PF²+CF²，∴x²=（x-1）²+2²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CP=$\frac{5}{2}$，
sin∠EPC=$\frac{CF}{PC}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，折叠的性质，能够利用勾股定理和折叠的性质构造方程是解题的关键．