Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．若P、Q分别是AB和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是$\frac{192}{25}$．

Answer 1

分析 作点C关于AB的对称点D，过D作DQ⊥AC于Q，则DQ的长度即为PC+PQ的最小值，由勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，根据三角形的面积求得CD=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{48}{5}$，通过△DQC∽△ABC，得到$\frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{AC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：作点C关于AB的对称点D，过D作DQ⊥AC于Q，则DQ的长度即为PC+PQ的最小值，
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∴CD=2×$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{48}{5}$，
∵∠D+∠DCQ=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠D，
∵∠DQC=∠ACB=90°，
∴△DQC∽△ABC，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DQ}{AC}$，
即$\frac{\frac{48}{5}}{10}=\frac{DQ}{8}$，
∴DQ=$\frac{192}{25}$．
∴PC+PQ的最小值是$\frac{192}{25}$．
故答案为：$\frac{192}{25}$．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出图形是解题的关键．