题目内容
如图1，在四边形ABCD一边AD上取一点E，连接BE、CE得到△ABE、△EBC、△EDC，若这3个三角形中有且只有两个等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的等腰分点；若这3个三角形都是等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的强等腰分点．
（1）如图2，矩形ABCD中，AB=
BC．利用尺规作图画出矩形ABCD中的AD边上的强等腰分点；
（2）如图3，在?ABCD中，AD=12，CD=6，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，求DE的长．
（3）在?ABCD中，∠A=120°，AD=12，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，求AB的长．（画出满足条件的示意图，并对应地直接写出答案）
（1）如图2，矩形ABCD中，AB=
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（2）如图3，在?ABCD中，AD=12，CD=6，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，求DE的长．
（3）在?ABCD中，∠A=120°，AD=12，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，求AB的长．（画出满足条件的示意图，并对应地直接写出答案）
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）取AD中点即可；
（2）过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（3）分为三种情况：设AB=x，分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，求出DM=EM=
CD=
x，由勾股定理得出122-（12-
x）2=
x2，求出即可；②当AB=AE=x，BE=BC=12时，过A作AQ⊥BC于Q，由勾股定理得出（
x）2+（
x+x）2=122，求出即可；③当AB=AE=x，CD=CE=x时，得出2x=12，求出即可．
（2）过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（3）分为三种情况：设AB=x，分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，求出DM=EM=
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解答：解：（1）作出线段BC的垂直平分线，交AD于E，则E为所求，如图：
；
（2）
过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，
∵?ABCD中，AD=12，CD=6，
∴BC=AD=12，
∵E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=12，CE=CD=6，
∴EQ=CQ=3，
由勾股定理得：BQ=
=3
，
在△BEC中，由三角形面积公式得：BQ×CE=BC×EN，
∴3
×6=12×EN，
∴CM=EN=
，
在△CMD中，由勾股定理得：DM=
=
，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DE=2DM=3；
（3）设AB=x，
分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴CD=CE=x，BC=AD=BE=12，∠D=180°-∠A=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=EM=
CD=
x，
由勾股定理得：EN2=122-（12-
x）2，
CM2=x2-（
x）2=
x2，
∴122-（12-
x）2=
x2，
x=12（此时D、E重合，舍去）；
②
当AB=AE=x，BE=BC=12时，如图3，过A作AQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴AQ=AB×sin60°=
x，
∴EN=
x，
在Rt△BEN中，由勾股定理得：（
x）2+（
x+x）2=122，
解得：x=4
；
③当AB=AE=x，CD=CE=x时，
∵∠D=60°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=x，
∵AE+DE=12，
∴2x=12，
x=6；
④AB=AE=x，BE=CE时，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠EBC=30°
∴BQ=
AB=
x，
∴BQ+QN=
AD，即x+
x=6，解得x=4．
即AB=6或4
或4；
；（2）
过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，
∵?ABCD中，AD=12，CD=6，
∴BC=AD=12，
∵E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=12，CE=CD=6，
∴EQ=CQ=3，
由勾股定理得：BQ=
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在△BEC中，由三角形面积公式得：BQ×CE=BC×EN，
∴3
| 15 |
∴CM=EN=
| 3 |
| 2 |
| 15 |
在△CMD中，由勾股定理得：DM=
| CD2-CM2 |
| 3 |
| 2 |
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DE=2DM=3；
（3）设AB=x，
分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴CD=CE=x，BC=AD=BE=12，∠D=180°-∠A=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=EM=
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| 1 |
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由勾股定理得：EN2=122-（12-
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CM2=x2-（
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∴122-（12-
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| 4 |
x=12（此时D、E重合，舍去）；
②
当AB=AE=x，BE=BC=12时，如图3，过A作AQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴AQ=AB×sin60°=
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∴EN=
| ||
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在Rt△BEN中，由勾股定理得：（
| ||
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解得：x=4
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③当AB=AE=x，CD=CE=x时，
∵∠D=60°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=x，
∵AE+DE=12，
∴2x=12，
x=6；
④AB=AE=x，BE=CE时，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠EBC=30°
∴BQ=
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∴BQ+QN=
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即AB=6或4
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点评：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，用了分类讨论思想，难度偏大．
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