Question

19．如图，E为△ABC中AB边的中点，D为△ABC外一点，且DE⊥AB，过点D作DN⊥AC于点N，DM⊥BC交BC的延长线于点M，已知AN=BM，求证：点D在△ABC的外角平分线上．

Answer 1

分析 连接DA、DB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，证明Rt△DAN≌Rt△BDM，得到DN=DM，证明Rt△NDC≌Rt△MDC，得到答案．

解答 证明：连接DA、DB，
∵DE⊥AB，E为△ABC中AB边的中点，
∴DA=DB，
在Rt△DAN和Rt△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAN≌Rt△BDM，
∴DN=DM，
在Rt△NDC和Rt△MDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=DM}\\{DC=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△NDC≌Rt△MDC，
∴∠NDC=∠MDC，
∴点D在△ABC的外角平分线上．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等是解题的关键．