Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，sin∠B=

3

5

，点E是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），作∠AEF=∠AEB，使边EF交边CD与点F（不与点C、D重合），设BE=x，CF=y．
（1）求边BC的长：
（2）当△ABE与△CEF相似时，求BE的长：
（3）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等腰梯形的性质，可得AD=MN； BM=CN；AB=DC=5，根据勾股定理，可得BM的长，根据线段的和差，可得答案；
（2）分类讨论，当∠AEB=∠FEC时，根据正切函数，可得ME的长，根据线段的和差，可得答案，当∠AEB=∠EFC时，根据等腰三角形的性质，可得BM与ME的关系，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得函数解析式，根据线段的和差，可得定义域．

解答：解：（1）如图：过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，sin∠B=

3

5

，
∴AD=MN； BM=CN；AB=DC=5；∠B=∠C，
∴AM=AB•sin∠B=5×

3

5

=3
∴BM=CN=

AB2-AM2

=

52-32

=4
∴BC=BM+MN+CN=AD+2BM=2+2×4=10；

（2）△ABE与△CEF相似有两种情况，如图：



①当∠AEB=∠FEC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
过A作AM⊥BC
由（1）知：AM=3，BM=4
∴ME=AM•tan60°=3×

3

3

=

3

∴BE=BM+ME=4+

3

，
②当∠AEB=∠EFC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠EFC
∴AE∥DC
∴∠AEB=∠C=∠B
△ABE是等腰三角形
过A 作AM⊥BC
∴BM=ME（等腰三角形三线合一性质）
∵BM=4
∴BE=2BM=8
综上，当△ABE∽△CEF时，BE的长为4+

3

或8；
（3）当∠AEB=∠FEC时，△AEB∽△FEC，

y

5

=

10-x

x

，
即y=

50

x

-5（4+

3

＜x＜10）
当∠AEB=∠EFC时，△AEB∽△EFC

y

x

=

10-x

5

即y=-

1

5

x²+2x  （8＜x＜10）．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了等腰梯形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键．