Question

设完全平方数M的个位与十位数码交换后得到另一个完全平方数N（M＞N）．则符合条件的M的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、多于3

Answer 1

考点：完全平方数

专题：

分析：可设原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，则交换后得到另一个完全平方数N的个位数码是b，十位数码是a，因为M＞N，所以两个数的差是（10b+a）-（10a+b）=9（b-a），依此根据平方差公式讨论求解．

解答：解：设原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，则交换后得到另一个完全平方数N的个位数码是b，十位数码是a，
因为M＞N，
所以两个数的差是（10b+a）-（10a+b）=9（b-a），
设M=x²，N=y²，
则M-N=x²-y²=（x+y）（x-y）=9（b-a），
由于完全平方数个位上只能是0（不合题意），1，4，5，6，9，
则b-a=1，2，3，4，5，8，9，
则有

x+y=9 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=18 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=9 x-y=2

（不合题意舍去），

x+y=6 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=27 x-y=1

，解得

x=14 y=13

，即M=196，N=169（符合题意），

x+y=9 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=36 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=18 x-y=2

（不合题意舍去），

x+y=12 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=9 x-y=4

（不合题意舍去），

x+y=45 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=15 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=9 x-y=5

（不合题意舍去），

x+y=54 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=27 x+y=2

（不合题意舍去），

x+y=18 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=9 x-y=6

（不合题意舍去），

x+y=72 x-y=1

（不合题意舍去），

x+y=36 x-y=2

（不合题意舍去），

x+y=24 x-y=3

（不合题意舍去），

x+y=18 x-y=4

（不合题意舍去），

x+y=12 x-y=6

（不合题意舍去），

x+y=9 x-y=8

（不合题意舍去）．
只有一组解符合要求，因此符合条件的M是196，个数为1．
故选：A．

点评：本题考查了完全平方数与整数的十进制表示法，关键是设出原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，然后根据题意列方程求解．