Question

18．已知：?ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2$\sqrt{3}$，则?ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）根据菱形的判定方法，当AB=AD时，?ABCD为菱形，再利用根的判别式的意义得到△=m²-4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$）=0，然后解关于m的方程即可；
（2）利用方程根的定义，把x=2$\sqrt{3}$代入方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0可求出m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，则方程化为x²-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x+3=0，再解方程AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后计算?ABCD的周长．

解答 解：（1）当AB=AD时，?ABCD为菱形，
此时方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的两个相等的实数根，
所以△=m²-4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$）=0，解得m₁=m₂=$\sqrt{3}$，
即m为$\sqrt{3}$时，四边形ABCD是菱形；
（2）根据题意得2$\sqrt{3}$为关于x的方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的实数根，
所以12-2$\sqrt{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0，解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
方程化为x²-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x+3=0，解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=2$\sqrt{3}$，
即AB=2$\sqrt{3}$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以?ABCD的周长=2（AB+AD）=4$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了根的判别式．