Question

如图（1），直线y=-x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若直线AD的解析式为y=-

1

2

x+3，求直线DE的解析式；
（3）如图（2），若∠OAE=30°，过点E作EF⊥AC于点H，交AD于点F，求

EF+FD

AH

的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=-x+3，令x=0，令y=0，分别求得x、y的值即可求得A、C的坐标；
（2）过D点作DM⊥x轴于点M，先通过三角形全等求得EM=AO=3，DM=OE，设E（m，0），则OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，把D（m+3，m）代入直线AD的解析式，求得m的值，从而得出D、E的坐标，最后根据待定系数法即可求得；
（3）根据解直角三角函数求得AE、AC、ED、HC的值，然后通过三角形相似求得EF、FD的值，根据AC、HC的值求得AH的值代入

EF+FD

AH

即可求得．

解答：解：（1）∵直线y=-x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，
令y=0，则0=-x+3，解得x=3，
∴C（3，0），
令x=0，则y=3，
∴A（0，3）；

（2）如图1，过D点作DM⊥x轴于点M，
∵∠EAD=45°，AE⊥ED，
∴AE=ED，∠AEO+∠DEM=90°，
∵∠OAE+∠AEO=90°，
∴∠OAE=∠DEM，
在△AOE与△EMD中

∠AOE=∠EMD=90° ∠OAE=∠DEM AE=ED

，
∴△AOE≌△EMD（AAS），
∴EM=AO=3，DM=OE，
设E（m，0），
∴OM=OE+EM=m+3，DM=OE=m，
∴D（m+3，m），
代入直线AD的解析式y=-

1

2

x+3，得m=-

1

2

（m+3）+3，
解得m=1，
∴D（4，1），E（1，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
则

4k+b=1 k+b=0

，解得

k= 1 3 b=- 1 3

，
∴直线DE的解析式为：y=

1

3

x-

1

3

；

（3）∵A（0，3），C（3，0），
∴OA=OC=3，
∴AC=3

2

，
∵∠OAE=30°，
∴OE=

3

，AE=2

3

，
∴EC=OC-OE=3-

3

，
∵∠EHC=90°，∠ACO=45°，
∴HC=

3 2 - 6

2

，
∴AH=AC-HC=

3 2 + 6

2

，
∵∠OAC=45°，∠OAE=30°，
∴∠EAC=15°，
∵∠EAD=45°，
∴∠CAD=30°，
∵∠AHF=90°，
∴∠AFH=60°，
∵∠AFH=∠D+∠DEF=60°，∠D=45°，
∴∠DEF=15°，
∴∠DEF=∠EAC，
∵∠ACO=∠D=45°，
∴△AEC∽△EFD，
∴

EF

AE

=

ED

AC

，
∵ED=AE=2

3

，
∴EF=

2 3

3 2

×2

3

=2

2

，
∴

DF

EC

=

ED

AC

，
∴DF=

2 3

3 2

×（3-

3

）=

6

-

2

，
∴

EF+FD

AH

=

2 2 - 2 + 6

3 2 + 6 2

=

2 2 +2 6

3 2 + 6

=

2 3

3

．

点评：本题考查了直线的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形等；本题的难点是根据三角函数求得线段的长．