Question

10．关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个实数根x₁，x₂
（1）求k的取值范围；
（2）若（kx₁²-x₁+2）（kx₂²-x₂+2）=2k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{k}$，由于（kx₁²-x₁+2）（kx₂²-x₂+2）=2k可化为（x₁+x₂）+x₁x₂+1=2k，于是把x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{k}$代入（x₁+x₂）+x₁x₂+1=2k然后解方程即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个实数根，
∴根的判别式△=b²-4ac=4-4k≥0，且k≠0．
即k≤1且k≠0．
∴k的取值范围：k≤1且k≠0；

（2）根据题意得x₁+x₂=$\frac{2}{k}$，x₁x₂=$\frac{1}{k}$，
∵（kx₁²-x₁+2）（kx₂²-x₂+2）=2k可化为（x₁+x₂）+x₁x₂+1=2k，
∴$\frac{2}{k}$+$\frac{1}{k}$+1=2k，
解得：k=$\frac{3}{2}$，或k=-1，
∵k≤1且k≠0；
∴k=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．