题目内容

如图，四边形ABCD与四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，BR交AC、CD于点P、Q．若AD= $数学公式$ ，AB=AC=2 $数学公式$ ．
求：BP、PQ的长．

解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE= $\text{[math]}$ ，AB=DC=DE=AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴BE=DE=2 $\text{[math]}$ ．
又∵R是DE的中点，
∴ER= $\text{[math]}$ DE= $\text{[math]}$ ，
在△BER和△DEC中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△BER≌△DEC（SAS），
∴BR=DC=2 $\text{[math]}$ ．
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=RP= $\text{[math]}$ BR= $\text{[math]}$ ．
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴QR=2PQ．
∴PQ= $\text{[math]}$ PR= $\text{[math]}$ ；
综上所述，BP= $\text{[math]}$ ．PQ= $\text{[math]}$ ．
分析：由平行四边形的性质推知△BER≌△DEC（SAS），根据全等三角形对应边相等证得BR=DC=2 $\text{[math]}$ ；然后由三角形中位线的判定证得PC是△BER的中位线，从而求得BP= $\text{[math]}$ BR= $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．