Question

2．在平面直角坐标系中，顺次连结点A（-2，0）、B（0，-2）、C（2，0）、D（0，2）所得的四边形ABCD是怎样的四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 由A、B、C、D四点坐标结合两点间的距离公式可得出线段AD=BC=2$\sqrt{2}$，OA=OB=OC=OD=2，再由正切的定义得出tan∠DAO=tan∠BCO=1，由此得出∠DAO=∠BCO=45°，同理可得出∠BAO=∠DCO=45°，由角相等利用“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC，由此即可得知四边形ABCD是平行四边形，再根据角的计算得出∠DAB=90°即可证出四边形ABCD是正方形．

解答 解：所得的四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵点A（-2，0）、B（0，-2）、C（2，0）、D（0，2），
∴AD=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OA=OB=OC=OD=2，
∴tan∠DAO=$\frac{OD}{OA}$=1，tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=1，
∴tan∠DAO=tan∠BCO，即∠DAO=∠BCO=45°，
同理可得∠BAO=∠DCO=45°．
∵∠DAO=∠BCO，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
同理可得∠BAO=∠DCO=45°，
∵∠DAB=∠DAO+∠BAO=90°，
∴四边形ABCD是正方形．

点评 本题考查了坐标与图形性质、两点间的距离公式、正切的定义以及正方形的判定定理，解题的关键是利用正方形的判定定理证明四边形ABCD是正方形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标结合两点间的距离公式以及角的计算找出平行且相等的量以及含有90°的内角，再根据正方形的判定定理证明四边形为正方形即可．