Question

11．已知点A（2，y₁），B（0，y₂），C（-2，y₃），D（x₄，y₄）在抛物线y=ax²+bx+4上，且AD∥BC，则△OBD的面积为8．

Answer 1

分析 根据A、B、C、D四点在抛物线上可用a、b、x₄分别表示y₁、y₂、y₃、y₄，由AD∥BC知k_AD=k_BC即$\frac{{y}_{1}-{y}_{4}}{2-{x}_{4}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{0-（-2）}$，将y₁、y₂、y₃、y₄代入整理后可得${{x}_{4}}^{2}+2{x}_{4}-8$=0，求出x₄的值，最后由S_△OBD=$\frac{1}{2}$×OB×|x_D|计算可得．

解答 解：根据题意知，y₁=4a+2b+4，y₂=4，y₃=4a-2b+4，y₄=ax₄²+bx₄+4，
∵AD∥BC，
∴k_AD=k_BC，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{4}}{2-{x}_{4}}$=$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{0-（-2）}$，
将y₁、y₂、y₃、y₄代入得：$\frac{4a+2b+4-a{{x}_{4}}^{2}-b{x}_{4}-4}{2-{x}_{4}}=\frac{4-4a+2b-4}{2}$，
整理，得：${{x}_{4}}^{2}+2{x}_{4}-8$=0，
解得：x₄=-4或x₄=2（舍），
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}$×OB×|x_D|
=$\frac{1}{2}$×y₂×|x₄|
=$\frac{1}{2}$×4×4
=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据AD∥BC知k_AD=k_BC结合二次函数图象上点的坐标求得x₄的值是解题的关键．