Question

11．关于x的一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有两个相等的实数根，抛物线y=-x²+（m+1）x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，设抛物线的对轴交x轴于点E，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使P点到x轴的距离等于P点到直线BD的距离？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）如图2，作CF⊥DE于F，M为射线EA上一动点．如果在线段EF上恰好存在两个点N满足△CFN与△NEM相似，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得△=0且m+1≠0，解方程即可解决问题．
（2）存在．如图1中，①当P在x轴上方时，作PM⊥BD，设PM=PE=m，②当P′在x轴下方时，作P′N⊥BD于N．设P′N=P′E=m，分别构建方程即可解决问题．
（3）如图2中，当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似，首先证明这个结论．设EM=a，连接KN，则KN是梯形CFEM的中位线，
可得KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，在Rt△CMO中，根据CM²=CO²+OM²，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：（1）∵一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0且m+1≠0，
∴4（m+1）²-4（m+1）×2=0，
解得m=±1，
∵m≠-1，
∴m=1，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3．

（2）存在．如图1中，

①当P在x轴上方时，作PM⊥BD，设PM=PE=m，
由题意可知A（-1，0），B（3，0），D（1，4），
，∴DE=4，BE=2，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△PDM中，∵PD²=DM²=PM²，
∴（4-m）²=（2$\sqrt{5}$-2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$-1，
∴此时点P坐标（2，$\sqrt{5}$-1）．

②当P′在x轴下方时，作P′N⊥BD于N．设P′N=P′E=m，
在Rt△DP′N中，∵P′D²=DN²+P′N²，
∴（4+m）²=（2$\sqrt{5}$+2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$+1，
∴此时点P′坐标（2，-$\sqrt{5}$-1）．
综上所述，当点P坐标为（2，$\sqrt{5}$-1）或（2，-$\sqrt{5}$-1）时，P点到x轴的距离等于P点到直线BD的距离．

（3）如图2中，当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似．

①设切点为N，则∠CNM=90°，
∵∠CFN=∠MEN=90°，
∴∠MNE+∠CNF=90°，∠CNF+∠NCF=90°，
∴∠MNE=∠NCF，
∴△MNE∽△NCF．
②作C关于直线DE的对称点C′，连接MC′交DE于N′，
∵∠CN′F=∠C′N′F=∠MN′E，∠CFN′=∠MEN′=90°，
∴△N′ME∽△N′CF．
∴当以CM为直径的⊙K与EF相切时，恰好存在两个点N，使得△MNE和△CFN相似，
设EM=a，连接KN，则KN是梯形CFEM的中位线，
∴KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，
在Rt△CMO中，∵CM²=CO²+OM²，
∴（1+a）²=（a-1）²=3²，
解得a=$\frac{9}{4}$，
∴OM=EM-OE=$\frac{9}{4}$-1=$\frac{5}{4}$，
∴点M坐标为（-$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数，根据勾股定理构建方程，学会利用直径所对的圆周角是直角、解决直角三角形相似问题，属于中考压轴题．