Question

【题目】已知，矩形中，，点分别在边上，直线交矩形对角线于点，将沿直线翻折，点落在点处，且点在射线上。

Ⅰ.如图①，当时，①求证；②求的长；

Ⅱ.请写出线段的长的取值范围，及当的长最大时的长。

Answer 1

【答案】Ⅰ. ①见解析；②；Ⅱ.0≤CP≤5，

【解析】

Ⅰ. ①先由折叠得出∠AEM=∠PEM，AE=PE，再根据已知判断出AB∥EP，进而判断出CN=CE，②设CN=CE=x，先根据勾股定理求出AC的长，再根据AB∥EP证出CPECAB，从而得到比例式即可．

Ⅱ. 先确定出PC最大和最小时的位置，即可得出PC的范围，最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论．

解：Ⅰ. ①∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴△AME≌△PME．
∴∠AEM=∠PEM，AE=PE．
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC．
∵EP⊥BC，∴AB∥EP．
∴∠AME=∠PEM．
∴∠AEM=∠AME．
∴AM=AE，
∵ABCD是矩形，∴AB∥DC．
∴．∴CN=CE，
②设CN=CE=x．
∵ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得AC=5．∴PE=AE=5-x．
∵EP⊥BC，AB∥EP
∴CPECAB

∴==．
∴，
∴x=，
即CN=

Ⅱ. ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=5，
由折叠知，AE=PE，
由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，
∴AC＞PC，
∴PC＜5，
∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，
∴0≤CP≤5，

如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，

∴BP=2，
由折叠知，PM=AM，
在Rt△PBM中，PM=4-BM，根据勾股定理得，PM2-BM2=BP2，
∴（4-BM）2-BM2=4，
∴BM=，

在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN=

当CP最大时MN=，