Question

7．如图所示，线段AB=6cm，C点从P点出发以1cm/s的速度沿AB向左运动，D点从B出发以2cm/s的速度沿AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C，D运动到任意时刻都有PD=2AC，求出P在AB上的位置；
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，若AQ-BQ=PQ，求PQ的值；
（3）在（1）的条件下，若C，D运动了一段时间后恰有AB=2CD，这时点C停止运动，点继续在线段PB上运动，M，N分别是CD，PD的中点，求出MN的值．

Answer 1

分析 （1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的$\frac{1}{3}$处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；
（3）当C点停止运动时，有CD=$\frac{1}{2}$AB，故AC+BD=$\frac{1}{2}$AB，所以AP-PC+BD=$\frac{1}{2}$AB，再由AP=$\frac{1}{3}$AB，PC=5cm，BD=10cm，再根据M是CD中点，N是PD中点可得出MN的长，进而可得出结论．

解答 解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC．
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，
∴点P在线段AB上的$\frac{1}{3}$处；

（2）如图1：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ；
又∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=$\frac{1}{3}$AB=2cm；
当点Q'在AB的延长线上时，
AQ′-AP=PQ′，
所以AQ′-BQ′=PQ=AB=6cm．
综上所述，PQ=2cm或6cm．

（3）MN的值不变．
理由：如图2，当C点停止运动时，有CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∴AC+BD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∴AP-PC+BD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∵AP=$\frac{1}{3}$AB=2cm，PC=5cm，
∵M是CD中点，N是PD中点，
∴MN=MD-ND=$\frac{1}{2}$CD-$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$cm．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．