Question

13．我们知道：对于任何实数x，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；②∵${（x-\frac{1}{3}）^2}$≥0，∴${（x-\frac{1}{3}）^2}$+$\frac{1}{2}$＞0；模仿上述方法解答：求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x²+4x+3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值．

Answer 1

分析 （1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x²+4x+3的值总大于0，得证．
（2）证明多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-2的值时，可以证明3x²-5x-1-（2x²-4x-7）＞0．

解答 证明：（1）∵2x²+4x+3
=2（x²+2x）+3
=2（x²+2x+1）+1
=2（x+1）²+1，
又∵对于任何实数x，（x+1）²≥0，
∴2（x+1）²+1＞0；


（2）∵3x²-5x-1-（2x²-4x-7）
=3x²-5x-1-2x²+4x+7
=x²-x+6
=（x-$\frac{1}{2}$）²+5$\frac{3}{4}$＞0，
∴不论x为何实数，多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值．

点评 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．