Question

（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．

（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；

（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请求出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）作图见试题解析；（2）P（1，﹣1）；（3）存在，Q（﹣2，﹣2），（2，﹣4）．

【解析】

试题分析：（1）作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可；

（2）过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE，在Rt△BPD中，BP2=x2+32，在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12，由BP=CP，求出x的值，即可得出P点坐标；

（3）利用相似三角形的判定得出△Q1BC∽△ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标．

试题解析：（1）如图1所示：

（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．

∵PD⊥AB，∴AD=BD=3，

∵OB=4，∴OD=OB﹣BD=1，∴PE=OD=1，

设DP=x，则OE=PD=x，在Rt△BPD中，．

在Rt△CEP中，，

∵BP=CP，∴，解得：．∴点P坐标为（1，﹣1）；

（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q1，连接CQ1，则BQ1是直径，∴∠Q1CB=90°，

又∵∠CAB=∠CQ1B，∴△Q1BC∽△ACO，

此时连接AQ1，则∠Q1AB=90°，∴Q1横坐标为：﹣2，

∵AB=6，BQ1=2BP=，∴AQ1=2，∴Q1（﹣2，﹣2），

同理构造直角三角形CFQ2，可得出：CF=6，CQ2=，∴FQ2=2，FO=4，则Q2（2，﹣4），

综上所述：）⊙P上存在一点Q（﹣2，﹣2），（2，﹣4），使得△QBC与△AOC相似．

考点：圆的综合题．