Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．

（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．

Answer 1

解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；

① △CDA≌△DCE的理由是：

  ∵AD∥BC，

  ∴∠CDA=∠DCE．          

又∵DA=CE，CD=DC ，      

  ∴△CDA≌△DCE．    

    或 ②  △BAD≌△DCE的理由是：

∵AD∥BC，

∴∠CDA=∠DCE．

又∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴∠BAD=∠CDA，

∴∠BAD =∠DCE．

又∵AB=CD，AD=CE，

∴△BAD≌△DCE．

（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直．

理由是：设AC与BD的交点为点G，∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=DB．

又∵AD=CE，AD∥BC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE，AC∥DE．

∴DB=DE．

则BF=FE，

又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，

  ∴BF=FE=3．    

  ∵DF=3，

∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，       

∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，

又∵AC∥DE

∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．