题目内容

在平面直角坐标系xOy中，直线l₁过点A（1，0）且与y轴平行，直线l₂过点B（0，2）且与x轴平行，直线l₁与直线l₂相交于点P．点E为直线l₂上一动点，反比例函数 $数学公式$ （k＞0）的图象过点E与直线l₁相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k=xy=1×2=2；

（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP=1，AP=2．
∵点E、F都在反比例函数 $\text{[math]}$ （k＞0）的图象上，
∴E（ $\text{[math]}$ ，2），F（1，k）．则BE= $\text{[math]}$ ，PE=1- $\text{[math]}$ ，AF=k，PF=2-k，
∴S_△OEF=S_矩形OAPB-S_△OBE-S_△PEF-S_△OAF=1×2- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2- $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）×（2-k）- $\text{[math]}$ ×1×k
=- $\text{[math]}$ k²+1；
②当k=2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形．

∵PF⊥PE，
∴S_△FPE= $\text{[math]}$ PE•PF= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）（k-2）= $\text{[math]}$ k²-k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S_△PFE=S_△GEF，
∴S_△OEF=S_矩形OCGD-S_△DOF-S_△GEF-S_△OCE
= $\text{[math]}$ •k- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ k²-k+1）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ k²-1；

（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S_△PEF=- $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）×（2-k）=- $\text{[math]}$ ，
S_△OEF=- $\text{[math]}$ k²+1，
则- $\text{[math]}$ ×2=- $\text{[math]}$ k²+1，
解得，k=2（舍去），或k=6（舍去）；
②由（1）知，k=2时，△OEF与△PEF不存在；
③如图2所示，当k＞2时，S_△PEF=- $\text{[math]}$ k²+k-1，S_△OEF= $\text{[math]}$ k²-1，
则2（- $\text{[math]}$ k²+k-1）= $\text{[math]}$ k²-1，
解得k=6或k=2（不合题意，舍去），
则k=6，
则E点坐标为：（3，2）．
分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；
（2）需要分类讨论：分当0＜k＜2，k=2，k＞2时三种情况来求△OEF的面积；
（3）根据（2）中的△PEF与△OEF的面积来求k的值，从而求得点E的坐标．
点评：本题考查的是反比例函数的性质、勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再由直角三角形的面积公式和“分割法”来求△OEF的面积．